「进阶0x51」杨老师的合影排列 MR.Young's Picture Permutations

为了满足题目中的身高限制条件，我们按身高从高到低安排每个人的位置，当前安排的同学可以安排在每排已安排同学的右边（准备安排的排人数不超过当前排的人数限制，不超过上一排已安排的人数），如果还有空排，也可以安排在最靠上的空排。

比如上图，当前我们准备安排身高排名第八的同学，该同学可以可以安排在第 $1$ 排，第 $2$ 排和第 $4$ 排。 注意到前 7 个人我们只关心每排的人数，在每排的人数确定以后，他们的位置不影响第 $8$ 个同学的选择，这满足动态规划的无后效性。

接下来我们考虑如何设计状态，我们关心当前总共已安排的人数，每排的人数。所以状态设计为 $f(k,x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$，表示总共站了 个人，其中每排的人数分别是 。那么

$f(k,x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) =$ 。

在具体实现的时候，因为空间限制，有一些优化，请参考代码。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long f[32][17][12][10][8];
int x[6], k;

void solve() {
  for (int i = 1; i <= k; i++) cin >> x[i];
  for (int i = k + 1; i <= 5; i++) x[i] = 0;
  memset(f, 0, sizeof f);
  f[0][0][0][0][0] = 1;
  for (int a1 = 0; a1 <= x[1]; a1++) 
    for (int a2 = 0; a2 <= min(a1, x[2]); a2++)
      for (int a3 = 0; a3 <= min(a2, x[3]); a3++) 
        for (int a4 = 0; a4 <= min(a3, x[4]); a4++) 
          for (int a5 = 0; a5 <= min(a4, x[]); a5++) {
             (a1 > ) f[a1][a2][a3][a4][a5] += f[a1 - ][a2][a3][a4][a5]; 
             (a2 > ) f[a1][a2][a3][a4][a5] += f[a1][a2 - ][a3][a4][a5]; 
             (a3 > ) f[a1][a2][a3][a4][a5] += f[a1][a2][a3 - ][a4][a5]; 
             (a4 > ) f[a1][a2][a3][a4][a5] += f[a1][a2][a3][a4 - ][a5]; 
             (a5 > ) f[a1][a2][a3][a4][a5] += f[a1][a2][a3][a4][a5 - ]; 
          }
  cout << f[x[]][x[]][x[]][x[]][x[]] << ; 
}

{
   (cin >> k && k != ) ();
} 

从 $1$ 开始循环可以避免大量的 if 判断。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long f[32][17][12][10][8];
int x[6], k;

void solve() {
  for (int i = 1; i <= k; i++) cin >> x[i], x[i]++;
  for (int i = k + 1; i <= 5; i++) x[i] = 1;
  memset(f, 0, sizeof f);
  f[1][1][1][1][1] = 1;
  for (int a1 = 1; a1 <= x[1]; a1++) 
    for (int a2 = 1; a2 <= min(a1, x[2]); a2++)
      for (int a3 = 1; a3 <= min(a2, x[3]); a3++) 
        for (int a4 = 1; a4 <= min(a3, x[4]); a4++) 
          for (int a5 = 1; a5 <= (a4, x[]); a5++) {
             f[a1][a2][a3][a4][a5] += f[a1 - ][a2][a3][a4][a5] 
                                    + f[a1][a2 - ][a3][a4][a5] 
                                    + f[a1][a2][a3 - ][a4][a5]
                                    + f[a1][a2][a3][a4 - ][a5] 
                                    + f[a1][a2][a3][a4][a5 - ]; 
          }
  cout << f[x[]][x[]][x[]][x[]][x[]] << ; 
}

{
   (cin >> k && k != ) ();
}